Fue hijo de Estanislao S. Peña y Fidelia Barrenechea. Cursó sus estudios escolares en el Colegio Sagrados Corazones Recoleta y apenas egresado, ganó un concurso en los juegos florales convocado por la Federación de Estudiantes del Perú, a mérito de su libro El aroma en la sombra (1924). El jurado lo componían escritores anti-tradicionalistas: José Carlos Mariátegui, Manuel Beingolea, Percy Gibson, Manuel Beltroy y Luis Alberto Sánchez. Enrique cultivaba entonces una poesía pura e intimista, de inspiración becqueriana.

Ingresó a la Facultad de Letras de la Universidad Mayor de San Marcos, donde el 2 de enero de 1937 se graduó de doctor.

Se dedicó a la docencia en su alma máter, donde tuvo a su cargo la cátedra de Autores Selectos de la Literatura Universal (1935-1938).

En 1928 se incorporó al servicio de la Cancillería. En 1931 publicó Cinema de los sentidos puros, que se considera como uno de los primeros libros de poesía vanguardista del Perú.

En 1933 viajó a Río de Janeiro como auxiliar de la delegación peruana encargada de negociar la solución del conflicto peruano-colombiano de 1932-1933. Luego fue funcionario de la Oficina de Límites (1934-1936). En 1937 editó Elegía a Bécquer y retorno a la sombra que conmemora el centenario del poeta español. Aseguró haber escrito otro volumen de poesía, titulado Ortoclax, pero que lo perdió en uno de sus exilios.

Como segundo secretario fue acreditado en la legación en Honduras (1939), residiendo varios años en Tegucigalpa. Ascendido a primer secretario, sirvió en Venezuela (1942-1944 y 1945-1947), Colombia (1944 -1945), y Francia (1947-1949). Por entonces abandonó la docencia universitaria y estuvo a punto de ser retirado del servicio diplomático. Pasó a la República Dominicana donde ascendió a ministro consejero (1951) y con la misma calidad pasó a Gran Bretaña (1956).

Sucesivamente fue encargado de negocios y ministro consejero en Francia (1956-1960), subdirector de la Academia Diplomática, consejero de la representación ante UNESCO (1962-1964), ministro plenipotenciario y luego embajador ante las repúblicas africanas de Costa de Marfil, Níger y Alto Volta (1964-1967) y, finalmente, Embajador en Suecia (1968) y Noruega (1968-1970).

Obtenida su jubilación, residió en París durante muchos años, hasta que retornó a Lima en 1982, donde falleció en 1988.